Một số định lý thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực
Một số định lý thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa
cực
MỞ ĐẦU
Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một
trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức nhiều biến. Các kết
quả đạt được theo hướng nghiên cứu này ngày càng nhiều và đẹp đẽ. Ngày nay
nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề này với những
cách tiếp cận khác nhau.
Lịch sử phát triển của việc nghiên cứu các hàm
chỉnh hình tách vô cùng phong phú, đa dạng và đã thu được những kết quả vô cùng
đẹp, có ứng dụng lớn trong giải tích hiện đại. Nó được chia làm ba giai đoạn cụ
thể sau.
Đầu tiên là giai đoạn từ năm 1899 đến năm 1967 với
những đóng góp quan trọng của các nhà bác học nổi tiếng như: Osgood, Hartogs,
Hukuhara, Shimoda, Terada… Đặc trưng chủ yếu của giai đoạn này là nghiên cứu
trên chữ thập 2-lá. Trước tiên là vào năm 1899, Osgood đã khẳng định rằng nếu một
hàm chỉnh hình tách giới nội trong miền D thì chỉnh hình trong miền đó. Tiếp đó
là vào năm 1906, Hartogs khẳng định rằng mọi hàm chỉnh hình trong miền D đều
chỉnh hình tách trong miền đó. Bước đột phá quan trọng là nghiên cứu của
Hukuhara vào năm 1930. Ông đã khẳng định rằng hàm chỉnh hình tách giới nội địa
phương trên tập X(A1,A2; D1,D2) là chỉnh hình trên D1xD2 (trong đó A1 = D1, A2
D2 ) với điều kiện A2 có ít nhất một điểm tụ trong D2. Nhưng ở đây ông lại mở
rộng vấn đề bằng câu hỏi: “Với điều kiện nào của A2 thì khẳng định trên vẫn
đúng”. Và phải đến hơn 30 năm sau Terada mới trả lời được câu hỏi trên với điều
kiện A2 là không đa cực.
Giai đoạn tiếp theo là từ năm 1969 đến năm 1997
với các nghiên cứu của các nhà bác học Siciak năm 1969 và P. Zahariuta năm 1976
khi ông phát minh ra cơ sở chung của không gian Hilber. Sau đó phương pháp của
Zahariuta đã được cải tiến bởi Nguyễn Thành Vân và Zeriahi trong các công trình
của hai ông vào các năm 1991, 1995 và 1997. Đến năm 2001 với định lý chữ thập
cổ điển của Alehyane và Zeriahi đã đưa ra công thức tổng quát cho giải tích
phức.
Giai đoạn thứ ba là từ năm 1998 đến năm 2001.
Đặc trưng của giai đoạn này là nghiên cứu thác triển của các hàm chỉnh hình
tách với kỳ dị giải tích, bắt đầu với nghiên cứu của Oktem sau đó được tổng quát
hóa bởi Siciak. Kết quả tổng quát nhất là định lý thác triển của các hàm chỉnh
hình tách với kỳ dị giải tích và kỳ dị đa cực của Jarnicki và Pflug.
Với mục đích nghiên cứu một vài kết quả về thác
triển các hàm chỉnh hình tách, luận văn gồm những nội dung cơ bản sau:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Nội dung chính của
chương chủ yếu trình bày các khái niệm đa tạp phức, hàm đa điều hòa dưới, miền
giả lồi, bao chỉnh hình, hàm cực trị tương đối, tập đa cực, đa cực địa phương,
đa chính quy địa phương và hàm chỉnh hình tách, tập kỳ dị. Tiếp đó chúng tôi
trình bày một số kết quả bổ trợ như thác triển các hàm chỉnh hình tách và tính
chất của tập đa cực, đa cực đóng tương đối, đa chính quy địa phương để chuẩn bị
cho việc trình bày chương 2.
Chương 2. Định lý thác triển của các hàm chỉnh
hình tách với kỳ dị đa cực. Phần đầu chương chúng tôi trình bày sơ lược các kết
quả nghiên cứu về hàm chỉnh hình tách qua các giai đoạn phát triển của hướng
nghiên cứu này. Tiếp đó là một định lý về thác triển của các hàm chỉnh hình tách
với kỳ dị đa cực. Phần cuối chương, chúng tôi trình bày chứng minh định lý này trong
trường hợp chữ thập 2-lá và trong trường hợp tổng quát.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận
tình của cô giáo TS Nguyễn Thị Tuyết Mai. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đối với cô.
Xem online tài liệu bị lỗi các bạn nên down về
Bài viết liên quan
Giá Bán:0.000 VNĐ
